前言
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前言共振频率一、机械振动系统的共振频率1. 无阻尼单自由度系统2. 有阻尼单自由度系统
二、电路系统的共振频率1. RLC串联电路2. 频域特性
三、多自由度系统的共振频率四、共振条件的数学本质五、工程应用与注意事项六、数学推导示例（机械系统共振频率）七、总结公式对比表
共振频率
共振频率是物理系统在特定频率下振幅显著增大的现象，其数学描述因系统类型（机械、电路、声学等）而异。以下从经典力学和电路系统两个角度展开，结合微分方程与频响特性进行解析。
一、机械振动系统的共振频率
1. 无阻尼单自由度系统
模型方程：
m
x
¨
+
k
x
=
F
0
cos
(
ω
t
)
m\ddot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)
mx¨+kx=F0cos(ωt)
m
m
m：质量；
k
k
k：弹簧刚度；
F
0
F_0
F0：激励幅值；
ω
\omega
ω：激励频率。
固有频率公式：
f
0
=
1
2
π
k
m
f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
f0=2π1mk
当激励频率
ω
=
ω
0
=
k
m
\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
ω=ω0=mk
时，系统发生共振，振幅趋于无穷大（理想无阻尼情况）。
2. 有阻尼单自由度系统
模型方程：
m
x
¨
+
c
x
˙
+
k
x
=
F
0
cos
(
ω
t
)
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)
mx¨+cx˙+kx=F0cos(ωt)
c
c
c：阻尼系数；阻尼比：
ζ
=
c
2
m
k
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}
ζ=2mk
c。
位移响应幅值：
X
(
ω
)
=
F
0
(
k
−
m
ω
2
)
2
+
(
c
ω
)
2
X(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}
X(ω)=(k−mω2)2+(cω)2
F0 共振频率： 实际共振频率因阻尼存在而略低于固有频率：
ω
r
=
ω
0
1
−
2
ζ
2
\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}
ωr=ω01−2ζ2
当
ζ
≪
1
\zeta \ll 1
ζ≪1时，
ω
r
≈
ω
0
\omega_r \approx \omega_0
ωr≈ω0；当
ζ
≥
1
2
\zeta \geq \frac{1}{\sqrt{2}}
ζ≥2
1时，系统无共振峰。
二、电路系统的共振频率
1. RLC串联电路
模型方程：
L
d
2
q
d
t
2
+
R
d
q
d
t
+
1
C
q
=
V
0
cos
(
ω
t
)
L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = V_0\cos(\omega t)
Ldt2d2q+Rdtdq+C1q=V0cos(ωt)
L
L
L：电感；
R
R
R：电阻；
C
C
C：电容；
q
q
q：电荷；
V
0
V_0
V0：电源电压幅值。
共振频率公式：
f
0
=
1
2
π
L
C
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
f0=2πLC
1 在共振时，电路阻抗最小（
Z
=
R
Z = R
Z=R），电流幅值最大。
2. 频域特性
电流幅值响应：
I
(
ω
)
=
V
0
R
2
+
(
ω
L
−
1
ω
C
)
2
I(\omega) = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}}
I(ω)=R2+(ωL−ωC1)2
V0 半功率带宽：
Δ
ω
=
R
L
或
Δ
f
=
R
2
π
L
\Delta \omega = \frac{R}{L} \quad \text{或} \quad \Delta f = \frac{R}{2\pi L}
Δω=LR或Δf=2πLR
三、多自由度系统的共振频率
对于
N
N
N自由度系统，运动方程可写为矩阵形式：
M
x
¨
+
C
x
˙
+
K
x
=
F
(
t
)
\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{x}} + \mathbf{K}\mathbf{x} = \mathbf{F}(t)
Mx¨+Cx˙+Kx=F(t)
M
\mathbf{M}
M：质量矩阵；
K
\mathbf{K}
K：刚度矩阵；
C
\mathbf{C}
C：阻尼矩阵。
特征频率求解： 通过求解无阻尼自由振动方程的特征值问题：
det
(
K
−
ω
2
M
)
=
0
\det(\mathbf{K} - \omega^2\mathbf{M}) = 0
det(K−ω2M)=0 得到的特征值
ω
i
2
\omega_i^2
ωi2对应系统的固有频率，每个频率对应一个共振峰。
四、共振条件的数学本质
共振发生的核心条件是激励频率与系统固有频率匹配，导致能量持续输入与系统储能相位同步。数学表现为：
振幅最大化：响应函数分母最小化（见机械与电路幅值公式）。相位跃迁：位移响应相位滞后从
0
∘
0^\circ
0∘（低频）过渡到
18
0
∘
180^\circ
180∘（高频），共振时相位差为
9
0
∘
90^\circ
90∘。
五、工程应用与注意事项
应用场景：
机械：减震器设计需避开共振频率；涡轮叶片需调整固有频率。电路：无线电调谐（选频）、滤波器设计。声学：乐器共鸣腔设计、噪声控制。 避免共振破坏：
通过修改质量、刚度或增加阻尼（
ζ
>
0.3
\zeta > 0.3
ζ>0.3）抑制共振幅值。动态扫频测试识别系统共振点。 利用共振：
MRI成像：利用原子核在特定射频下的共振吸收。能量收集：振动能量采集器工作在共振频率附近。
六、数学推导示例（机械系统共振频率）
步骤1：无阻尼系统求解 假设解
x
(
t
)
=
X
cos
(
ω
t
)
x(t) = X\cos(\omega t)
x(t)=Xcos(ωt)，代入无阻尼方程：
−
m
ω
2
X
cos
(
ω
t
)
+
k
X
cos
(
ω
t
)
=
F
0
cos
(
ω
t
)
-m\omega^2 X\cos(\omega t) + kX\cos(\omega t) = F_0\cos(\omega t)
−mω2Xcos(ωt)+kXcos(ωt)=F0cos(ωt) 整理得：
X
=
F
0
k
−
m
ω
2
X = \frac{F_0}{k - m\omega^2}
X=k−mω2F0 当分母趋近于零时（
ω
→
ω
0
\omega \to \omega_0
ω→ω0），振幅
X
→
∞
X \to \infty
X→∞。
步骤2：含阻尼系统的幅值最大化 对位移幅值公式求导并令
d
X
d
ω
=
0
\frac{dX}{d\omega} = 0
dωdX=0，解得：
ω
r
=
ω
0
1
−
2
ζ
2
\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}
ωr=ω01−2ζ2
七、总结公式对比表
系统类型共振频率公式关键参数机械单自由度无阻尼
f
0
=
1
2
π
k
m
f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
f0=2π1mk
k
,
m
k, m
k,m机械单自由度有阻尼
f
r
=
f
0
1
−
2
ζ
2
f_r = f_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}
fr=f01−2ζ2
ζ
=
c
2
m
k
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}
ζ=2mk
cRLC串联电路
f
0
=
1
2
π
L
C
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
f0=2πLC
1
L
,
C
L, C
L,C